Data la funzione f(x), sia dunque:
Non possiamo usare la definizione di integrale che conosciamo perchè in b
la funzione non è finita; tuttavia se essa è continua in ogni intervallo del tipo
[a,b-] con
>0, allora è possibile calcolare:
Facciamo ora tendere a zero, calcolando:
Se tale limite esiste ed è finito, si dice allora che la funzione f è integrabile in
[a,b] e si pone:
Se tale limite non esiste o non ha un valore finito, si dice che la funzione non
è integrabile in [a,b].
Ci si comporta in modo del tutto analogo quando la funzione tende all'infinito
per : essa non è continua in [a,b] ma lo è in [a+
,b] con
>0.
Allora se esiste finito:
la funzione f è integrabile in [a,b] e si pone:
Se poi la funzione non è continua in un punto c interno ad [a,b] ma lo è in
qualunque altro punto di [a,b], si pone:
supposto che esistano finiti i due limiti.